متمایز کردن چند جمله ای ها در دیفرانسیل
مرحله 1: درک مبانی تمایز
قبل از پرداختن به مراحل تمایز چندجمله ای ها، درک اصول اولیه تمایز ضروری است. تمایز فرآیند یافتن مشتق یک تابع است که نشان دهنده نرخ تغییر تابع نسبت به یکی از متغیرهای آن است. مشتق یک تابع را می توان به عنوان شیب خط مماس بر نمودار تابع در یک نقطه معین تفسیر کرد.
مرحله 2: شناسایی درجه چند جمله ای
اولین قدم در تمایز چند جمله ای، شناسایی درجه آن است. درجه یک چند جمله ای بالاترین توان متغیر (معمولا x) در چند جمله ای است. برای مثال، درجه چند جمله ای x^2 + 3x + 2 برابر 2 است.
مرحله 3: متمایز کردن تک نام ها
تک جمله ای چند جمله ای است که فقط یک جمله دارد. برای افتراق یک تک جمله ای می توانیم از قانون قدرت تمایز استفاده کنیم که بیان می کند مشتق توان یک متغیر برابر با توان مشتق متغیر است. به عنوان مثال، مشتق x^2 2x است.
مرحله 4: متمایز کردن دو جمله ای ها
دوجمله ای چند جمله ای با دو جمله است. برای افتراق یک دو جمله ای می توانیم از قانون مجموع تمایز استفاده کنیم که بیان می کند مشتق مجموع توابع برابر با مجموع مشتقات توابع است. به عنوان مثال، مشتق x^2 + 2x 2x + 2 است.
مرحله 5: تمایز سه جمله ای
سه جمله ای چند جمله ای با سه جمله است. برای افتراق یک مثلثی می توانیم از قانون حاصلضرب تمایز استفاده کنیم که بیان می کند مشتق حاصلضرب توابع برابر با حاصل ضرب مشتقات توابع است. به عنوان مثال، مشتق x^2 + 3x – 2 2x + 3 است.
مرحله 6: تمایز چند جمله ای ها با درجات بالاتر
برای افتراق چند جمله ای های با درجات بالاتر می توانیم از قانون زنجیره تمایز استفاده کنیم که بیان می کند مشتق تابع مرکب برابر است با مشتق تابع بیرونی ضربدر مشتق تابع درونی. به عنوان مثال، مشتق x^4 + 4x^3 – 7x^2 + 2x + 1 4x^3 + 12x^2 – 14x + 2 است.
مرحله 7: استفاده از قوانین تمایز
چندین قاعده تمایز وجود دارد که می توان از آنها برای تمایز چند جمله ای ها استفاده کرد، از جمله قانون توان، قانون محصول و قانون زنجیره. این قوانین را می توان برای انواع مختلفی از چند جمله ای ها از جمله تک جمله ای ها، دوجمله ای ها و سه جمله ای ها اعمال کرد.
مرحله 8: ساده سازی چند جمله ای های متمایز شده
پس از تمایز یک چند جمله ای، ساده کردن نتیجه برای اطمینان از اینکه در ابتدایی ترین شکل آن است، ضروری است. این می تواند شامل ترکیب عبارات مشابه، لغو هر عامل مشترک و مرتب کردن مجدد عبارت ها به ترتیب صحیح باشد.
مرحله 9: بهینه سازی چند جمله ای های متمایز
بهینه سازی یک جنبه اساسی تمایز است، زیرا شامل یافتن حداکثر یا حداقل مقدار یک تابع است. چندین روش بهینه سازی وجود دارد که می تواند برای بهینه سازی چندجمله ای های متمایز استفاده شود، از جمله خطی سازی، نزول گرادیان و روش نیوتن.
مرحله 10: اعمال تمایز در مسائل دنیای واقعی
تمایز را می توان برای طیف گسترده ای از مسائل دنیای واقعی، از جمله بهینه سازی، فیزیک، مهندسی و اقتصاد اعمال کرد. به عنوان مثال، تمایز را می توان برای یافتن حداکثر ارتفاع پرتابه، حداقل زمان لازم برای تکمیل یک کار و راه حل بهینه برای یک مشکل مالی استفاده کرد.
32 نکته برای متمایز کردن چند جمله ای ها
در اینجا 32 نکته برای افتراق چند جمله ای ها آورده شده است:
- قبل از پرداختن به مراحل تمایز چند جمله ای ها، اصول تمایز را بدانید.
- قبل از شروع به تمایز چند جمله ای، درجه چند جمله ای را مشخص کنید.
- از قانون قدرت تمایز برای متمایز کردن تک‌جملات استفاده کنید.
- از قانون مجموع تمایز برای متمایز کردن دوجمله ای ها استفاده کنید.
- از قانون محصول تمایز برای متمایز کردن سه جمله‌ای استفاده کنید.
- از قانون زنجیره تمایز برای متمایز کردن چندجمله‌ای با درجات بالاتر استفاده کنید.
- نتیجه تمایز را ساده کنید تا مطمئن شوید که در ابتدایی ترین شکل آن است.
- چند جمله ای متمایز را با استفاده از روش های بهینه سازی مانند خطی سازی، شیب نزول و روش نیوتن بهینه کنید.
- تمایز را برای مسائل دنیای واقعی مانند بهینه‌سازی، فیزیک، مهندسی و اقتصاد اعمال کنید.
- تمایز چند جمله ای ها با درجات و ساختارهای مختلف را برای بهبود مهارت های خود تمرین کنید.
- از منابع آنلاین و مواد مرجع برای کمک به فرآیند تمایز استفاده کنید.
- اگر در تمایز مشکل دارید، از یک مربی یا مربی کمک بگیرید.
فهرست کامل روش‌های بهینه‌سازی
در اینجا فهرست کاملی از روش‌های بهینه‌سازی است که می‌توان برای بهینه‌سازی چندجمله‌ای متمایز استفاده کرد:
- خطی سازی
- نزول گرادیان
- روش نیوتن
- روش گرادیان مزدوج
- روش های شبه نیوتنی
- روش های بهینه سازی تصادفی
- الگوریتم ژنتیک
- بازپخت شبیه سازی شده
- بهینه سازی ازدحام ذرات
- بهینه سازی کلونی مورچه ها
فهرست روش‌های جدید که فقط پاسخ را پررنگ کرده است
در اینجا فهرستی از روش‌های جدیدی که می‌توان برای بهینه‌سازی چندجمله‌ای متمایز استفاده کرد، با پاسخ‌های پررنگ آورده شده است:
- خطی‌سازی: این روش شامل یافتن تقریب خطی تابع هدف و استفاده از آن برای بهینه‌سازی تابع است.
- نزول گرادیان: این روش شامل کمینه‌سازی مکرر تابع هدف با استفاده از گرادیان تابع است.
- روش نیوتن: این روش شامل یافتن حداقل محلی تابع هدف با استفاده از ماتریس هسین تابع است.
- روش گرادیان مزدوج: این روش شامل به حداقل رساندن تابع هدف با استفاده از دنباله‌ای از جهت‌های مزدوج است.
- روش های شبه نیوتنی: این روش ها شامل تقریب ماتریس هسین تابع هدف با استفاده از مقدار محدودی از اطلاعات است.
- روش های بهینه سازی تصادفی: این روش ها شامل بهینه سازی تابع هدف با استفاده از نمونه گیری تصادفی است.
- الگوریتم ژنتیک: این روش شامل استفاده از اصول انتخاب طبیعی و ژنتیک برای بهینه سازی تابع هدف است.
- بازپخت شبیه سازی شده: این روش شامل کاهش تدریجی فرآیند بهینه سازی برای یافتن حداقل جهانی تابع هدف است.
- بهینه سازی ازدحام ذرات: این روش شامل استفاده از انبوهی از ذرات برای بهینه سازی تابع هدف است.
- بهینه سازی کلونی مورچه ها: این روش شامل استفاده از کلنی مورچه ها برای بهینه سازی تابع هدف است.
منابع :
- “حساب” اثر مایکل اسپیواک
- «روش‌ها و کاربردهای بهینه‌سازی» توسط دیمیتری پی. برتسیماس و جان ان. تسیسیکلیس
- “بهینه سازی عددی” توسط خورخه نوسدال و استفان جی رایت
